问题 解答题
(文)已知动圆过定点P(0,1),且与定直线y=-1相切.
(1)求动圆圆心的轨迹M的方程;
(2)设过点Q(0,-1)且以
a
=(-1,-k)
为方向向量的直线l与轨迹M相交于A、B两点.若∠APB为钝角,求直线l斜率的取值范围.
答案

(1)∵动圆过定点P(0,1),且与定直线y=-1相切

故圆心到点P(0,1)的距离等于半径,

且圆心到直线y=-1的距离等于半径,

即圆心到定点P(0,1),及定直线y=-1的距离相等

圆心轨迹M是以P(0,1)为焦点,直线y=-1为准线的抛物线,

故它的方程是x2=4y------------------------------------------------5′

(2)直线l过点Q(0,-1),且以

a
=(-1,-k)为方向向量,所以直线方程为y=kx-1,

代入x2=4y得x2-4kx+4=0,

由△=16k2-4×1×4>0得k<-1,或k>1①-------------------------------------7′

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=4

所以

PA
=(x1y1-1),
PB
=(x2y2-1)
,∵∠PDB为钝角,∴
PA
PB
<0

即x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+(kx1-2)(kx2-2)=(1+k2)x1x2-2k(x1+x2)+4<0------------------------------------------------------------------10′

即4(1+k2)-2k×4k+4<0,解得k<-

2
,或k>
2
②------------------------------12′

由①②得k<-

2
,或k>
2
-------------------------------------------------------------------------14′

名词解释
多项选择题