问题
填空题
| 函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[m，n]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[m，n]上是单调函数；②f（x）在[m，n]上的值域为[2m，2n]，则称区间[m，n]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有______（填上所有正确的序号） ①f（x）=x2（x≥0）；②f（x）=ex（x∈R）；③f（x）=
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答案
函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②
，或f(a)=2a f(b)=2b
．f(a)=2b f(b)=2a
①f（x）=x2（x≥0），若存在“倍值区间”[a，b]，
则
，∴f(a)=2a f(b)=2b
，∴a2=2a b2=2b
，a=0 b=2
∴f（x）=x2（x≥0），若存在“倍值区间”[0，2]；
②f（x）=ex（x∈R），若存在“倍值区间”[a，b]，
则
，∴f(a)=2a f(b)=2b
，ea=2a eb=2b
构建函数g（x）=ex-x，∴g′（x）=ex-1，
∴函数在（-∞，0）上单调减，在（0，+∞）上单调增，
∴函数在x=0处取得极小值，且为最小值．
∵g（0）=1，∴，g（x）＞0，∴ex-x=0无解，故函数不存在“倍值区间”；
③f（x）=
（x≥0），f′（x）=4x x2+1
=4(x2+1)-4x×2x (x2+1)2
，4(1+x)(1-x) (x2+1)2
若存在“倍值区间”[a，b]⊆[0，1]，
则
，∴f(a)=2a f(b)=2b
，∴a=0，b=1，若存在“倍值区间”[0，1]；
=2a4a a2+1
=2b4b b2+1
④f（x）=loga（ax-
）（a＞0，a≠1）．不妨设a＞1，则函数在定义域内为单调增函数1 8
若存在“倍值区间”[m，n]，
则
，f(a)=2a f(b)=2b
，f(m)=2m f(n)=2n
∴
，loga(am-
)=2m1 8 loga(an-
)=2n1 8
∴2m，2n是方程loga（ax-
）=2x的两个根，1 8
∴2m，2n是方程a2x-ax+
=0的两个根，1 8
由于该方程有两个不等的正根，故存在“倍值区间”[m，n]；
综上知，所给函数中存在“倍值区间”的有①③④．
故答案为：①③④．
