如图，两根足够长的光滑固定平行金属导轨与水平面成θ角，导轨间

问题问答题

如图，两根足够长的光滑固定平行金属导轨与水平面成θ角，导轨间距为d，两导体棒a和b与导轨垂直放置，两根导体棒的质量都为m、电阻都为R，回路中其余电阻不计．整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度的大小为B．在t=0时刻使a沿导轨向上作速度为v的匀速运动，同时将b由静止释放，b经过一段时间后也作匀速运动．已知d=1m，m=0.5kg，R=0.5Ω，B=0.5T，θ=30°，g取10m/s²，不计两导棒间的相互作用力．

（1）为使导体棒b能沿导轨向下运动，a的速度v不能超过多大？

（2）若a在平行于导轨向上的力F作用下，以v₁=2m/s的速度沿导轨向上运动，试导出F与b的速率v₂的函数关系式并求出v₂的最大值；

（3）在（2）中，当t=2s时，b的速度达到5.06m/s，2s内回路中产生的焦耳热为13.2J，求该2s内力F做的功（结果保留三位有效数字）．

答案

（1）设a的速度为v₁，由于b初态速度为零，则 I=

Bdv1

①

对b：FA=BId=

B2d2v1

②

F_A＜mgsinθ ③

将①②式代入③式得：v₁＜10m/s ④

（2）设a的速度为v₁，b的速度为v₂，回路电流为I，

则：I=

E1+E2

Bd(v1+v2)

⑤

对a：mgsinθ+F_A=F

即mgsinθ+

B2d2(v1+v2)

=F ⑥

代入数据得：F=3+

设b的最大速度为v_m，则有：

B2d2(v1+vm)

=mgsinθ

代入数据得：v_m=8m/s

（3）对b：mgsinθ-F_A=ma

即mgsinθ-

B2d2(v1+v2)

=ma

取任意无限小△t时间：mg△t•sinθ-

B2d2(v1+v2)

•△t=ma•△t

代入数据并求和得：8∑△t-∑△x₂=2∑△v₂

即8t-x₂=2v₂

将t=2s，v₂=5.06m/s代入上式得：x₂=5.88m

a的位移：x₁=v₁t=2×2=4m

由功能关系知：

WF=

+mgx1sinθ-mgx2sinθ+Q

代入数据得：W_F=14.9J

答：（1）为使导体棒b能沿导轨向下运动，a的速度v不能超过10m/s；

（2）F与b的速率v₂的函数关系式为F=3+

，v₂的最大值为8m/s；

（3）在2s内力F做的功为14.9J．