问题
计算题
某同学用一个光滑的半圆形轨道和若干个大小相等、可视为质点的小球做了三个有趣的实验，轨道固定在竖直平面内，且两端同高。第一次，他将一个小球从离轨道最低点的竖直高度h处由静止沿轨道下滑（h远小于轨道半径），用秒表测得小球在轨道底部做往复运动的周期为T；第二次，他将小球A放在轨道的最低点，使另一个小球B从轨道最高点由静止沿轨道滑下并与底部的小球碰撞，结果小球B返回到原来高度的1/4，小球A也上滑到同样的高度；第三次，用三个质量之比为m1:m2:m3＝5:3:2的小球做实验，如图所示，先将球m2和m3放在轨道的最低点，球m1从某一高度由静止沿轨道下滑，它们碰后上升的最大高度分别为h1、h2和h3，不考虑之后的碰撞。设实验中小球间的碰撞均无能量损失。重力加速度为g。求：
（1）半圆形轨道的半径R；
（2）第二次实验中两小球的质量之比mA:mB；
（3）第三次实验中三个小球上升的最大高度之比h1:h2:h3。
答案
解：（1）第一次实验中，小球的运动可以看做摆长为R的单摆，根据单摆周期公式有：
所以
（2）第二次实验中，球B从高为R处释放，设球B与球A碰撞前瞬间的速度大小为vB，碰撞后瞬间它们速度的大小分别为vB'和vA。由题意知，球B与A碰后达到的高度均为
，根据机械能守恒定律有
所以
；
又根据动量守恒定律有
所以
（3）根据题意设球1、2、3的质量分别为5m、3m和2m。设球1与球2碰撞前后的速度分别为v1、v1'，球2与球3碰撞前后的速度分别为v2、v2'，球3与球2碰撞后的速度为v3。球1与球2碰撞过程中动量守恒，且机械能守恒，则有
解得
球2与球3碰撞过程中动量守恒，且机械能守恒，则有
解得
在三个小球的上升过程中，根据机械能守恒定律有
解得