由题意可得

a

=2cos

α

2

•(cos

α

2

，sin

α

2

)，

同理

b

=2sin

β

2

•(sin

β

2

，cos

β

2

)．

又α∈（0，π），β∈（π，2π），

∴0＜

α

2

＜

π

2

，

π

2

＜

β

2

＜π．

∴|

a

|=2cos

α

2

，|

b

|=2sin

β

2

…4′

∴cosθ1=

a • c

| a |•| c |

=

2cos2 α 2

2cos α 2

=2cos

α

2

，

cosθ2=

b • c

| b |•| c |

=2sin

β

2

=cos(

β

2

-

π

2

)．…8′

∵

α

2

、

β

2

-

π

2

∈(0，

π

2

)，∴θ1=

α

2

，θ2=

β

2

-

π

2

．

∴

π

6

=θ1-θ2=

π

2

+

α-β

2

，即

α-β

2

=-

π

3

，

∴sin(

α-β

2

)=-

1

2

．…12′．