问题
填空题
函数f（x）的导函数为f′（x），若对于定义域内任意x1、x2（x1≠x2），有
①f（x）=2x+3； ②f（x）=x2-2x+3； ③f（x）=
④f（x）=ex； ⑤f（x）=lnx． 其中为恒均变函数的序号是______．（写出所有满足条件的函数的序号） |
答案
对于①f（x）=2x+3，
=f(x1)-f(x2) x1-x2
=2，f′(2x1-2x2 x1-x2
)=2，满足x1+x2 2
=f′(f(x1)-f(x2) x1-x2
)，为恒均变函数．x1+x2 2
对于②f（x）=x2-2x+3，
=f(x1)-f(x2) x1-x2
=(x12-2x1)-(x22-2x2) x1-x2
=x1+x2-2(x1-x2)(x1+x2-2) x1-x2
f′(
)=2•x1+x2 2
-2=x1+x2-2，故满足x1 +x2 2
=f′(f(x1)-f(x2) x1-x2
)，为恒均变函数．x1+x2 2
对于；③f(x)=
，1 x
=f(x1)-f(x2) x1-x2
=
- 1 x1 1 x2 x1-x2
，f′(-1 x1x2
)=-x1+x2 2
=1 (
)2x1 +x2 2
，4 (x1+x2)2
显然不满足
=f′(f(x1)-f(x2) x1-x2
)，故不是恒均变函数．x1+x2 2
对于④f（x）=ex ，
=f(x1)-f(x2) x1-x2
，f′(ex1- ex2 x1-x2
)=ex1+x2 2
，显然不满足x1+x2 2
=f′(f(x1)-f(x2) x1-x2
)，故不是恒均变函数．x1+x2 2
对于⑤f（x）=lnx，
=f(x1)-f(x2) x1-x2
=lnx1-lnx2 x1-x2
，f′(ln x1 x2 x1-x2
)=x1+x2 2
，2 x1+x2
显然不满足
=f′(f(x1)-f(x2) x1-x2
)，故不是恒均变函数．x1+x2 2
故答案为 ①②．