如图所示，间距为L、半径为R0的内壁光滑的
圆弧固定轨道，右端通过导线接有阻值为R的电阻，圆弧轨道处于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B．质量为m、电阻为r、长度也为L的金属棒，从与圆心等高的ab处由静止开始下滑，到达底端cd时，对轨道的压力恰好等于金属棒的重力2倍，不计导轨和导线的电阻，空气阻力忽略不计，重力加速度为g．求：1 4
（1）金属棒到达底端时，电阻R两端的电压U多大；
（2）金属棒从ab处由静止开始下滑，到达底端cd的过程中，通过电阻R的电量q；
（3）用外力将金属棒以恒定的速率v从轨道的低端cd拉回与圆心等高的ab处的过程中，电阻R产生的热量Q．
（1）金属棒滑到轨道最低点时，由圆周运动：
N-mg=m
…①v2 R0
根据题意：
N=2mg…②
金属棒切割磁感线产生的感应电动势为：
E=BLv…③
金属棒产生的感应电流为：
I=
…④E R+r
电阻R两端的电压为：
U=IR…⑤
由①②③④⑤解得：
U=
…⑥BLR gR0 R+r
（2）金属棒从ab处由静止开始下滑，到达底端cd的过程中，通过电阻R的电量为：
q=
t. I
由欧姆定律有：
=. I . E R+r
根据法拉第电场感应定律：
=N. E
=△∅ △t BLR0 t
由以上三式得：
q=BLR0 R+r
（3）金属棒以恒定的速率v从轨道的底端cd拉回与圆心等高的ab处的过程中，金属棒垂直于磁场方向的速度为：
vx=vcosα
金属棒切割产生的电动势为：
E=BLvx
感应电动势有效值为：
E=BLv 2
电路中的电流有效值为：
I=
=E R+r BLv
(R+r)2
金属棒运动的时间为：
t=
•2πR01 4 v
金属棒产生的热量为：
Q=I2Rt=(
)2•R•BLv
(R+r)2
=
•2πR01 4 v B2L2vπRR0 4(R+r)2
答：（1）金属棒到达底端时，电阻R两端的电压为U=
；BLR gR0 R+r
（2）金属棒从ab处由静止开始下滑，到达底端cd的过程中，通过电阻R的电量为q=
；BLR0 R+r
（3）用外力将金属棒以恒定的速率v从轨道的低端cd拉回与圆心等高的ab处的过程中，电阻R产生的热量为Q=
．B2L2vπRR0 4(R+r)2