选项A，sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

），当α∈（0，

π

2

）时，α+

π

4

∈（

π

4

，

3π

4

），

故可得sin（α+

π

4

）∈（

2

2

，1]，所以

2

sin（α+

π

4

）∈（1，

2

]，而

1

3

∉（1，

2

]，

故不可能存在α∈(0，

π

2

）使sinα+cosα=

1

3

，故A错误；

选项B，y=tanx在（kπ-

π

2

，kπ+

π

2

），k∈Z内单调递增，但在R内没有单调性，故B错误；

选项C，记y=f（x）=cos2x+sin（

π

2

-x）=cos2x+cosx，可得f（-x）=cos2（-x）+cos（-x）=f（x）

故可得原函数是偶函数，故C正确；

选项D，函数y=sin|2x+

π

6

|的图象可由y=sin|2x|的图象向左平移

π

12

个单位得到，

而函数y=sin|2x|为偶函数，其图象关于y轴对称，没有周期性，故函数y=sin|2x+

π

6

|没有周期性，故D错误．

故选C