建立直角坐标系O-xy．

设

a

=(1，0)，

∵

b

在

a

上的投影为

1

2

，

∴|

b

|cos＜

a

，

b

＞=

1

2

，∴cos＜

a

，

b

＞=

2

4

，

∴sin＜

a

，

b

＞=

1-( 2 4 )2

=

14

4

，

∴

b

=(

1

2

，

7

2

)．

设

c

=(x，y)，由（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=0得(1-x，-y)•(

1

2

-x，

7

2

-y)=0，

得(1-x)(

1

2

-x)-y(

7

2

-y)=0，化为(x-

3

4

)2+(y-

7

4

)2=

1

2

．

得圆心C(

3

4

，

7

4

)，半径r=

2

2

．

∴|

c

|=

x2+y2

≤|

OC

|+r=

( 3 4 )2+( 7 4 )2

+

2

2

=1+

2

2

．

故|

c

|的最大值为1+

2

2

．

故答案为1+

2

2

．