当

b⊂α c∥α

时，b与c不相交，但可能平行也可能重合，故A为假命题；

当

b⊂α b∥c

时，c可能在平面α内，也可能在平面α外，此时才会有c∥α，故B为假命题；

当c∥α时，存在直线m满足，

m⊂α m∥c

，结合c⊥β，可得m⊥β，此时必有α⊥β，故C为真命题；

当

α⊥β c∥α

时，则c⊂β或c∥β，不可能c⊥β，故D为假命题；

故选C