问题 解答题

已知向量a=(cosα ,sinα),b=(cosβ,sinβ),且ab之间满足关系:|ka+b|=|a-kb|,其中k>0。

(1)求将ab的数量积用k表示的解析式f(k);

(2)a能否和b垂直?a能否和b平行?若不能,则说明理由;若能,则求出对应的k值;

(3)求ab夹角的最大值。

答案

解:(1)∵ |ka+b|=|a-kb|,

两边平方,得|ka+b|2=3|a-kb|2

∴k2a2+2ka·b+b2=3(a2-2ka·b+k2b2),

a=(cosα ,sinα),b=(cosβ,sinβ), 

a2=1,b2=1,

∴f(k)=

(2)∵k2+1≠0, 

a·b≠0,故ab不垂直,

a//b,则|a·b|=|a||b|,即=1,   

又k>0,

∴k=2±

(3)设ab的夹角为θ,

a·b=|a||b|cosθ,

∴cosθ=

由k>0, k2+1≥2k,得

即cosθ≥

ab夹角的最大值为

单项选择题 B型题
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