问题
解答题
已知向量a=(cosα ,sinα),b=(cosβ,sinβ),且a与b之间满足关系:|ka+b|=|a-kb|,其中k>0。
(1)求将a与b的数量积用k表示的解析式f(k);
(2)a能否和b垂直?a能否和b平行?若不能,则说明理由;若能,则求出对应的k值;
(3)求a与b夹角的最大值。
答案
解:(1)∵ |ka+b|=|a-kb|,
两边平方,得|ka+b|2=3|a-kb|2,
∴k2a2+2ka·b+b2=3(a2-2ka·b+k2b2),
∵a=(cosα ,sinα),b=(cosβ,sinβ),
∴a2=1,b2=1,
∴f(k)=。
(2)∵k2+1≠0,
∴a·b≠0,故a与b不垂直,
若a//b,则|a·b|=|a||b|,即=1,
又k>0,
∴k=2±。
(3)设a与b的夹角为θ,
∵a·b=|a||b|cosθ,
∴cosθ=,
由k>0, k2+1≥2k,得,
即cosθ≥,
∴a与b夹角的最大值为。