问题
解答题
已知向量a=(cosα ，sinα)，b=(cosβ，sinβ)，且a与b之间满足关系：|ka+b|=|a-kb|，其中k>0。
（1）求将a与b的数量积用k表示的解析式f(k)；
（2）a能否和b垂直？a能否和b平行？若不能，则说明理由；若能，则求出对应的k值；
（3）求a与b夹角的最大值。
答案
解：（1）∵ |ka+b|=|a-kb|，
两边平方，得|ka+b|2=3|a-kb|2，
∴k2a2+2ka·b+b2=3(a2-2ka·b+k2b2)，
∵a=(cosα ，sinα)，b=(cosβ，sinβ)，
∴a2=1，b2=1，
∴f(k)=
。
（2）∵k2+1≠0，
∴a·b≠0，故a与b不垂直，
若a//b，则|a·b|=|a||b|，即
=1，
又k>0，
∴k=2±
。
（3）设a与b的夹角为θ，
∵a·b=|a||b|cosθ，
∴cosθ=
，
由k>0， k2+1≥2k，得
，
即cosθ≥
，
∴a与b夹角的最大值为
。
