问题
问答题
二次型
，经正交变换化为
+
(1)求a，t的值；
(2)求所用的正交变换．
答案
参考答案：(1)二次型矩阵为A，其标准形矩阵为B，依题意有
[*]
由于通过正交变换将二次型化为标准形，因此A与B不仅合同而且相似，因为相似矩阵有相同的迹，即有1+1+1=3+3+t，故t=-3．
B是对角矩阵，于是A的特征值为λ1=λ2=3，λ3=-3，于是
[*]
得a=-2(二重)．
(2)对于λ=3(二重)，由(3E-A)X=0，得A的特征向量为：X1=(1，-1，0)T，X2(1，0，-1)T，对λ=-3，由(-3E-A)X=0，得A的特征向量X3=(1，1，1)T．
对X1，X2正交化，有
β1=X1=(1，-1，0)T．
[*]
[*]
再单位化得
[*]
令[*]
经正交变换X=PY，二次型化为
[*]
解析：[考点] 用正交变换化二次型为标准形
