问题
问答题
设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．
(1)求矩阵A的特征值．
(2)求可逆矩阵P，使A与对角矩阵A相似．
答案
参考答案：(1)依题设条件有
A(α1，α2，α3)=(α1+α2+α3，2α2+α3，2α2+3α3)
[*]
记P1=(α1，α2，α3)，[*]，则上式可写为
AP1=P1B．
由于α1，α2，α3线性无关，故矩阵P1可逆，上式两端左乘P1-1，得P1-1AP1=B，即矩阵A与矩阵B相似，而
[*]
于是矩阵B的特征值是1，1，4，因为A～B，故A也有与B相同的特征值1，1，4．
(2)对矩阵B，由(E-B)X=0，得到属于λ=1的特征向量为β1=(-1，1，0)T，β2=(-2，0，1)T；由(4E-B)X=0，得到属于λ=4的特征向量为β3=(0，1，1)T．
令[*]
于是[*]
因此当[*]
解析：[考点] 求抽象3阶矩阵的特征值，并使之与对角矩阵相似