问题
填空题
如图所示，两根等高光滑的
圆弧轨道，半径为r、间距为L，轨道电阻不计．在轨道顶端连有一阻值为R的电阻，整个装置处在一竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B．现有一根长度稍大于L、质量为m、电阻不计的金属棒从轨道的顶端ab处由静止开始下滑，到达轨道底端cd时受到轨道的支持力为2mg．整个过程中金属棒与导轨电接触良好，求：1 4
（1）棒到达最低点时的速度大小和通过电阻R的电流．
（2）棒从ab下滑到cd过程中回路中产生的焦耳热和通过R的电荷量．
（3）若棒在拉力作用下，从cd开始以速度v0向右沿轨道做匀速圆周运动，则在到达ab的过程中拉力做的功为多少？
答案
（1）到达最低点时，设棒的速度为v，产生的感应电动势为E，感应电流为I，则
2mg-mg=mv2 r
金属棒产生的感应电动势 E=BLv
感应电流 I=E R
解得v=
，I=gr BL gr R
（2）设产生的焦耳热为Q，由能量守恒定律有Q=mgr-
mv21 2
解得Q=
mgr1 2
设产生的平均感应电动势为
，平均感应电流为. E
，通过R的电荷量为q，则. I
=. E △ϕ △t
=. I
q=. E R
•△t. I
解得q=BrL R
（3）金属棒在运动过程中水平方向的分速度vx=v0cos(
t)v0 r
金属棒切割磁感线产生正弦交变电流的有效值I=BLv0
R2
在四分之一周期内产生的热量Q=I2R•πr 2v0
设拉力做的功为WF，由功能关系有WF-mgr=Q
解得WF=mgr+πrB2L2v0 4R
答：
（1）棒到达最低点时的速度大小是
，通过电阻R的电流是I=gr
．BL gr R
（2）棒从ab下滑到cd过程中回路中产生的焦耳热是
mgr，通过R的电荷量为1 2
．BrL R
（3）若棒在拉力作用下，从cd开始以速度v0向右沿轨道做匀速圆周运动，在到达ab的过程中拉力做的功为mgr+
．πrB2L2v0 4R
