问题 解答题
已知命题P:函数y=loga
x+2
x-1
在(1,+∞)内单调递增;命题Q:不等式(a-3)x2+(2a-6)x-5<0对任意实数x恒成立,
若P∨Q是真命题,P∧Q是假命题,求实数a的取值范围.
答案

解∵命题P为真命题,即

函数y=loga

x+2
x-1
在定义域上单调递增;

∴0<a<(5分)

若命题Q为真命题,

不等式(a-3)x2+(2a-6)x-5<0对任意实数x恒成立;

当a-3=0时,不等式为-5<0满足题意,

当a≠0时,令a-3<0且△=(2a-6)2+20(a-3)<0

解得-2<a≤3(10分)

∵P∨Q是真命题且P∧Q是假命题,

∴P,Q有一个真命题一个假命题,

当p真Q假时,有

0<a<1
a≤-2或a>3
无解

当Q真P假时,有

a≤0或a≥1
-2<a≤3

解得-2<a≤0或1≤a≤3. 

∴a的取值范围是-2<a≤0或1≤a≤3.                            (14分)

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