问题 问答题

设f(x)的定义域为(-∞,+∞),对任意实数x,任意实数y有f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex
(1)若f(x)在x=0连续,问f(x)在(-∞,+∞)是否连续,为什么
(2)若f(x)在x=0可导,问f(x)在(-∞,+∞)是否可导,为什么
(3)若f(x)在x=0可导,求f(x)的解析表达式.

答案

参考答案:(1)由于对任意实数x,y有f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex,取x=y=0,得f(0)=2f(0),即f(0)=0,且f(x)在x=0连续,即有[*]
对任意x0∈(-∞,+∞),x0≠0,有
[*]
由x0的任意性,知f(x)在(-∞,+∞)连续.
(2)已知[*],对任意的x0∈(-∞,+∞),x0≠0,有
[*]
即f(x)在x=x0可导,且由x0的任意性知f(x)在(-∞,+∞)可导.
(3)由(2)知对任意x∈(-∞,+∞),有f’(x)=f(x)+f’(0)ex,记a=f’(0),则有y’-y=aex,于是
[*]
=cex+axex(c为任意常数),
代入y|x=0=0,得c=0,从而
f(x)=axeax=f’(0)xex

解析:[考点] 讨论一元函数,连续,可导,并解一元微分方程

单项选择题
判断题