（1）由2

3

=

1

2

|

OF

|•|FP|•sinθ，得|

OF

|•|

FP

|=

4 3

sinθ

，

由cosθ=

OF • FP

| OF |•| FP |

=

tsinθ

4 3

，得tanθ=

4 3

t

.

∵4＜t＜4

3

∴1＜tanθ＜

3

∵θ∈[0，π]

∴夹角θ的取值范围是（

π

4

，

π

3

）

（2）设P(x0，y0)，则

FP

(x0-c，y0)，

OF

=(c，0).∴

OF

•

FP

=(x0-c，y0)•(c，0)=(x0-c)c=t=(

3

-1)c2∴x0=

3

c

S△OFP=

1

2

|

OF

|•|y0|=2

3

∴y0=±

4 3

c

∴|

OP

|=

x 20 + y 20

=

( 3 c)2+( 4 3 c )2

≥

2 3 c• 4 3 c

=2

6

∴当且仅当

3

c=

4 3

c

，即c=2时，|

OP

|取最小值2

6

，此时，

OP

=(2

3

，±2

3

)

∴

OM

=

3

3

(2

3

，2

3

)+(0，1)=(2，3)

或

OM

=

3

3

(2

3

，-2

3

)+(0，1)=(2，-1)

椭圆长轴2a=

(2-2)2+(3-0)2

+

(2+2)2+(3-0)2

=8∴a=4，b2=12

或2a=

(2-2)2+(-1-0)2

+

(2+2)2+(-1-0)2

=1+

17

∴a=

1+ 17

2

，b2=

1+ 17

2

故所求椭圆方程为

x2

16

+

y2

12

=1．

或

x2

9+ 17 2

+

y2

1+ 17 2

=1