（I）∵

a

∥

b

，

∴cos(

π

4

x)•2sin(

π

4

x)-f(x)=0．

∴f(x)=sin(

π

2

x)．

∴an+1=f(an)=sin(

π

2

an)．（1分）

下面用数学归纳法证明：0＜a_n＜a_n+1＜1．

①n=1时，a1=

1

2

，  a2=sin(

π

2

a1)=sin

π

4

=

2

2

.  ∴0＜a1＜a2＜1，

故结论成立．

②假设n=k时结论成立，即0＜ak＜ak+1＜1， ∴ 0＜

π

2

ak＜

π

2

ak+1＜

π

2

．

∴0＜sin(

π

2

ak)＜sin(

π

2

ak+1)＜1，

即0＜a_k+1＜a_k+2＜1．

也就是说n=k+1时，结论也成立．

由①②可知，对一切n∈N^*均有0＜a_n＜a_n+1＜1．（4分）

（Ⅱ）要证an+1-

π

4

an＞

4-π

4

，即证sin(

π

2

an)-

π

4

an-

4-π

4

＞0，其中

1

2

≤an＜1．

令g(x)=sin(

π

2

x)-

π

4

x-

4-π

4

.x∈[

1

2

，  1)．

由g′(x)=

π

2

cos(

π

2

x)-

π

4

=

π

2

[cos(

π

2

x)-

1

2

]=0，得x=

2

3

．（6分）

x	( 1 2 ，   2 3 )	2 3	( 2 3 ，  1)
g'（x）	+	0	-
g（x）	↗	极大值	↘

又g（1）=0，g(

1

2

)=

2

2

-

π

8

-

4-π

4

=

4 2 +π-8

8

＞0．

∴当x∈[

1

2

，  1)，g（x）＞0．

∴sin(

π

2

x)-

π

4

x＞

4-π

4

．

∴sin(

π

2

an)-

π

4

an＞

4-π

4

．

即an+1-

π

4

an＞

4-π

4

．（9分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：

1-an+1＜

π

4

(1-an)＜(

π

4

)2(1-an-1)＜(

π

4

)n(1-a 1)=(

π

4

)n

1

2

.  n∈N*．（11分）

∴(1-a1)+(1-a2)++(1-an)＜

1

2

+

1

2

•(

π

4

)++

1

2

•(

π

4

)n-1＜

1 2

1- π 4

=

2

4-π

．

∴Tn=a1+a2++an＞n-

2

4-π

．（13分）

又

2

4-π

-3=

3π-10

4-π

＜0，

即n-

2

4-π

＞n-3．

∴T_n＞n-3．（14分）