证明：①函数y=a^x（a＞0且a≠1）与函数y=log_aa^x（a＞0且a≠1）的定义域都为R，故①正确

②函数y=x³的值域为R，而y=3^x＞0，则值域不相同，故②错误

③∵f（x）=y=

1

2

+

1

2x-1

=

2x+1

2(2x-1)

∴f(-x)=

2-x+1

2(2-x-1)

=

1+2x

2(1-2x)

=-f（x），

而g（x）=y=

(1+2x)2

x•2x

，g（-x）=

(2-x+1)2

(-x)•2-x

=

(2x+1 )2

(-x)•2x

=-g（x），故都是奇函数；

④根据二次函数的性质可知函数y=（x-1）²与在[0，1]上单调递减，在[1，+∞）单调递增，函数y=2^x-1在区间[0，+∞）上是增函数，故④错误

故选A