问题
填空题
| 以下结论正确的有______（写出所有正确结论的序号） ①函数y=
②对于函数f（x）=-x2+1，当x1≠x2时，都有
③已知幂函数的图象过点(2，2
④奇函数的图象必过坐标原点； ⑤函数f（x）对任意实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x＜0时，f（x）＜1，则f（x）在R上为增函数． |
答案
①函数y=
在（-∞，0）和（0，+∞）上分别是减函数，1 x
但在（-∞，0）∪（0，+∞）上没有单调性，故①不正确；
②∵f（x）=-x2+1，x1≠x2，
∴
-f（f(x1)+f(x2) 2
）x1+x2 2
=
-[-（-x12+1-x22+1 2
）2+1]x1+x2 2
=
-x12+2x1x2+x22 4
＜0，x12+x22 2
∴
＜f(f(x1)+f(x2) 2
)，故②正确；x1+x2 2
③设幂函数f（x）=xa，
∵幂函数的图象过点(2，2
)，∴f（2）=23 5
，故f（x）=x 3 5
，3 5
∴当x＞1时，该函数的图象始终在直线y=x的下方，故③正确；
④由奇函数的性质，知奇函数的图象不一定过坐标原点，故④不正确；
⑤∵函数f（x）对任意实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x＜0时，f（x）＜1，
∴令x1＜x2，则f（x1）-f（x2）
=f（x2+（x1-x2））-f（x2）
=f（x2）+f（x1-x2）-1-f（x2）=f（x1-x2）-1，
由于当x＜0时f（x）＜1，而x1-x2＜1，
所以f（x1）-f（x2）＜0，故f（x）在R上为增函数．故⑤正确．
故答案为：②③⑤
