如图所示,A、B两个小物体(可看成质点)的质量分别为2m、m,它们栓接在跨过定滑轮的细绳两端,细绳不可伸长,且能承受足够大的拉力。B物体悬吊着静止时,A也静止在地面上,A、B与定滑轮轮轴之间的竖直距离分别为2l、l。现将B物体竖直向上提高距离l,再将其从静止释放。每次细绳被拉直时A、B速度的大小立即变成相等,且速度方向相反,细绳被拉直的时间极短。物体与地面接触时,速度立即变为0,直到再次被细绳拉起。细绳始终在滑轮上,且不计一切摩擦,重力加速度为g。求:
(1)细绳第一次被拉直瞬间绳对A冲量的大小;
(2)A第一次上升过程距离地面的最大高度;
(3)A运动的总路程。
解:(1)B做自由落体,下降高度为I时的速度为
根据得
此时细绳被拉直,A、B速度的大小立即变成
设绳子对A、B的冲量大小为I,根据动量定理得
对B:
对A:
解得细绳第一次被拉直瞬间绳对A冲量的大小
(2)由(1)可得A第一次离开地面时速度的大小
从A离开地面到A再次回到地面的过程中,A、B组成的系统机械能守恒,假设A第一次上升过程距离地面的最大高度为,则
解得
(3)从A离开地面到A再次回到地面的过程中,A、B组成的系统机械能守恒,所以,A再次回到地面时速度的大小依然为,即B再次回到距离地面高度为
时速度的大小也为
。此后B做竖直上抛运动,落回距离地面高度为
时速度的大小还是
。
根据(1)求解可得A第二次离开地面时速度的大小
同理可求A第二次离开地面上升的最大高度为
……
A第次离开地面时速度的大小
同理可求第次离开地面上升的最大高度为
由于A的质量大于B的质量,A最终会静止在地面上
所以A运动的总路程