当x=-

π

6

时，函数f（x）=4sin（2x+

π

3

）=0，故点（-

π

6

，0）是函数图象与x轴的交点，故函数图象关于点（-

π

6

，0）对称，故（1）正确．

（2）由于函数g（x）=-3sin（2x-

π

3

），由 2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，

可得kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，k∈z，取k=-1，得-

7π

12

≤x≤-

π

12

，

故函数的增区间为[-

7π

12

，-

π

12

]，故（2）不正确．

（3）由于h（x）=sin（

2x

3

-

7π

2

）=cos

2x

3

，从而h（-x）=h（x），得h（x）是偶函数，∴命题（3）正确；

（4）中令y=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）则-

2

≤y≤

2

，

∵-

2

≤

π

3

≤

2

，∴存在实数x，使得sinx+cosx=

π

3

；即（4）正确．

其中正确的命题的序号是 （1）（3）（4）．

故答案为：（1）（3）（4）．