问题 选择题
已知函数f(x)=
(3a-1)x+5a,x<1
logax,x≥1
,现给出下列命题:
①当图象是一条连续不断的曲线时,则a=
1
8

②当图象是一条连续不断的曲线时,能找到一个非零实数a,使得f(x)在R上是增函数;
③当a∈{m|
1
8
<m<
1
3
,m∈R}
时,不等式f(1+a)•f(1-a)<0恒成立;
④当a=
1
4
时,则方程f(x2+1)-f(2x+4)=0的解集为{-1,3};
⑤函数 y=f(|x+1|)是偶函数.
其中正确的命题是(  )
A.①②③B.②④⑤C.①③④D.①②③④⑤
答案

lim
x→1-
f(x)=
lim
x→1-
[(3a-1)x+5a]=8a-1,
lim
x→1+
f(x)=
lim
x→1+
loga x=0,

∵图象是一条连续不断的曲线,

∴8a-1=0,a=

1
8
,故①正确;

当图象是一条连续不断的曲线时,

a=

1
8
,f (x)在R上是减函数,故②不正确;

当a∈{m|

1
8
<m<
1
3
,m∈R}时,1+a>1,1-a<1,

不等式f(1+a)•f(1-a)<0可化为[(3a-1)(1-a)+5a]•[loga (1+a)]<0,

∵loga (1+a)<0,(3a-1)(1-a)+5a>0恒成立

∴不等式f(1+a)•f(1-a)<0恒成立,故③正确;

a=

1
4
时,则方程f(x2+1)-f(2x+4)=0可化为:

log

1
4
 (x2+1)-log
1
4
 (2x+4)=0,(x≥-
3
2
),解得x=3,x=-1

或log

1
4
 (x2+1)+
1
4
x-
5
4
=0,(x<-
3
2
),此时方程无解

综上原方程的解集为{-1,3};故④正确;

函数 y=f(|x+1|)是偶函数不成立.即⑤不正确.

故选C.

单项选择题
多项选择题