问题
填空题
| 设函数f（x）在其定义域D上的导函数为f′（x）．如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈D都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x2-ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a）．给出下列四个函数： ①f（x）=
②f（x）=lnx+
③f（x）=（x2-4x+5）ex； ④f（x）=
其中具有性质P（2）的函数是______．（写出所有满足条件的函数的序号） |
答案
①f'（x）=x2-2x+1，若f′（x）=h（x）（x2-2x+1），即x2-2x+1=h（x）（x2-2x+1），
所以h（x）=1＞0，满足条件，所以①具有性质P（2）．
②函数f（x）=lnx+
的定义域为（0，+∞）．f′(x)=4 x+1
-1 x
=4 (x+1)2
=(x+1)2-4x x(x+1)2
⋅(x2-2x+1)，1 x(x+1)2
所以h(x)=
，当x∈（0，+∞）时，h（x）＞0，所以②具有性质P（2）．1 x(x+1)2
③f'（x）=（2x-4）ex+（x2-4x+5）ex=（x2-2x+1）ex，所以h（x）=ex，因为h（x）＞0，所以③具有性质P（2）．
④f′(x)=
=(2x+1)(2x+1)-2(x2+1) (2x+1)2
，若f′(x)=2x2+2x+1 (2x+1)2
⋅(x2-2x+1)，2x2+2x+1 (2x+1)2(x2-2x+1)
则h(x)=
，因为h（1）=0，所以不满足对任意的x∈D都有h（x）＞0，所以④不具有性质P（2）．2x2+2x+1 (2x+1)2(x2-2x+1)
故答案为：①②③．