设

c

=（x，y），则由

a

⋅

b

=

a

⋅

c

，得2×3-2×4=2x-2y，

即y=x+1，所以|

c

|=

x2+y2

=

x2+(x+1)2

=

2x2+2x+1

=

2(x+ 1 2 )2+ 1 2

，

所以当x=-

1

2

时，|

c

|=

1 2

=

2

2

所以|

c

|的最小值为

2

2

．

故答案为：

2

2

．