问题
解答题
已知点列An（xn，0）满足：
（1）若xn+1=f（xn）（n∈N*），求f（x）的表达式； （2）已知点B(
（3）设（2）中的数列an的前n项和为Sn，试求：Sn＜
|
答案
（1）∵A0（-1，0），A1（1，0），∴
•A0An
=(xn+1)(xn+1-1)，A1An+1
∴（xn+1）（xn+1-1）=a-1，∴xn+1=f(xn)=
，xn+a xn+1
∴f(x)=
．（3分）x+a x+1
（2）∵xn+1=f(xn)=
，a＞1，∴xn＞1，∴xn+1＞2xn+a xn+1
∵
=(xn-BAn
，0)，∴an=|BAn|=|x n-a
|．a
∵an+1=|x n+1-
|=|f(xn)-a
|=|a
-xn+a xn+1
|=a
•|xn-(
-1)a |xn+1|
|＜a
(1 2
-1)•|xn-a
|=a
(1 2
-1)ana
∴要使an+1＜an成立，只要
-1≤2，即1＜a≤9a
∴a∈（1，9]为所求．（6分）
（3）∵an+1＜
(1 2
-1)|xn-a
|＜a
(1 22
-1)2•|x n-1-a
|＜…＜＜a
(1 2n
-1)n•|x 1-a
|=a
(1 2n
-1)n+1，a
∴an＜
(1 2n-1
-1)n（9分）a
∴Sn=a1+a2+…+an＜(
-1)+a
(1 2
-1)2+…+a
(1 2n-1
-1)n=a (
-1)[1-(a
)n]
-1a 2 1-
(1 2
-1)a
（11分）
∵1＜a≤9，∴0＜
≤1，∴0＜(
-1a 2
)n≤1（13分）
-1a 2
∴
＜(
-1)[1-(a
)n]
-1a 2 1-
(1 2
-1)a
＜
-1a 1-
(1 2
-1)a
-1a 1-(
-1)a
∴Sn＜
（14分）
-1a 2- a