问题
解答题
已知a＞b＞0，F是方程
A（x1，y1），B（x2，y2），
（I ）求椭圆E的离心率 （II）如果椭圆E上的点与椭圆E的长轴的两个端点构成的三角形的面积的最大值等于2，直线y=kx-3经过A、B两点，求k2的值． |
答案
（I）∵P是椭圆E上的点，
与x轴平行，PF
∴|
|=PF
，b2 a
∵|
|=PF
，a 4
∴b2=
a21 4
∴
=c2 a2 3 4
∴e=3 2
（II）椭圆E上的点与椭圆E的长轴的两个端点构成的三角形的面积的最大值等于2
∴ab=2，
解方程组
得b2=
a21 4 ab=2
，a=2 b=1
∴椭圆的方程是x2+
=1y2 4
设A（x1，kx1-3），B（x2，kx2-3）
∵
•m
=0n
∴（4+k2）x1x2-3k（x1+x2）+9=0，
∵
-4=0，y=kx+3 4x2+y2
得（4+k2）x2-6kx+5=0
即（4+k2）x1x2-3k（x1+x2）+9=0
由
-4=0y=kx-3 4x2+y2
得（4+k2）x2-6kx+5=0，
∴x1+x2=
，x1x2=6k 4+k2 5 4+k2
∴（4+k2）x1x2-3k（x1+x2）+9=0，
∴56-4k2=0
k2=14