f(x)=x1+|x|(x∈R)，甲、乙、丙三位同学在研究此函数时分别给出命题：

问题填空题

f(x)=

1+|x|

(x∈R)，甲、乙、丙三位同学在研究此函数时分别给出命题：甲：函数f（x）的值域为（-1，1）；乙：若x₁≠x₂则一定有f（x₁）≠f（x₂）；丙：若规定f1( x)=f(x)，fn(x)=f(fn-1(x))，则fn(x)=

1+n|x|

对任意n∈N*恒成立你认为上述三个命题中正确的个数有______．

答案

函数f(x)=

1+|x|

(x∈R)，故函数是一个奇函数，先研究（0，+∞）上的性质

当x∈（0，+∞）时，f(x)=

1+x

(x∈R +)即f(x)=1-

1+x

(x∈R +)，函数在（0，+∞）上是增函数用值域为（0，1）

由奇函数的定义知函数在（-∞，0）上是增函数且值域为（-1，0），又f（0）=0故函数在R上的值域是（-1，1），且在R上是增函数，由此知甲乙两命题是正确的．

对于丙，f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x））对任意的n∈N^*都成立，有f₁（x）=f（x）=

1+|x|

(x∈R)，

f₂（x）=f（f₁（x））=

1+2|x|

(x∈R)，f₃（x）=f（f₂（x））=

1+3|x|

(x∈R)…f_n（x）=f（f_n-1（x））=

1+n|x|

(x∈R)故丙也是正确的．

综上，三个命题都是正确的

故应填3．