给出以下四个命题：①函数f(x)=sinx+2xf′(π3)，f′（x）为f（x

问题填空题

给出以下四个命题：
①函数f(x)=sinx+2xf′(

)，f′（x）为f（x）的导函数，令a=log₃2，b=

，则f（a）＜f（b）
②若f(x+2)+

f(x)

=0，则函数y=f（x）是以4为周期的周期函数；
③在数列{a_n}中，a₁=1，S_n是其前n项和，且满足S_n+1=

S_n+2，则数列{a_n}是等比数列；
④函数y=3^x+3^-x（x＜0）的最小值为2．
则正确命题的序号是______．

答案

①∵f′(x)=cosx+2f′(

)，∴f′(

)=cos

+2 f′(

)，∴f′（

）=-

，

∴f′（x）=cosx-1≤0，∴函数f（x）为R上的减函数，

∵a=log₃2，b=

=log₃

，∴a＞b

∴f（a）＜f（b），①正确

②∵f(x+2)=-

f(x)

，∴f（x+4）=-

f(x+2)

f(x)

=f（x），∴函数y=f（x）是以4为周期的周期函数；②正确；

③∵a₁=1，且满足S_n+1=

S_n+2，∴a₂=

，a₃=

，显然此数列的前三项不成等比数列，③错误；

④y=3^x+3^-x=y=3^x+

≥2

3x×

=2，（当且仅当3^x=1，即x=0时取等号），故x＜0时，y=3^x+3^-x无最小值为，④错误

故答案为①②