由于函数f（x）=msinx+ncosx=

m2+n2

sin（x+φ），且f（

1

4

π  ）是它的最大值，

∴

1

4

π+φ=2kπ+

1

2

π，k∈z，

∴φ=2kπ+

1

4

π，∴tanφ=

n

m

=1．

∴f（x）=

m2+n2

sin（x+2kπ+

1

4

π ）=

m2+n2

sin（x+

1

4

π ）

对于①，由于 f（x+

1

4

π  ）=

m2+n2

sin（x+

1

2

π ）=cosx，是偶函数，故①正确．

对于②，由tanφ=

n

m

=1，可得②正确．

对于③，由于当x=

7

4

π 时，f（x）=0，故函数f（x）的图象关于点（

7

4

π，0）对称，故③正确．

对于④，由于  f（-

3

4

π ）=

m2+n2

sin（-

1

2

π）=-

m2+n2

是 函数f（x）的最小值，故 ④正确．

对于⑤，函数f（x）的图象即把函数 y=

m2+n2

sinx的图象向左平移

1

4

π个单位得到的，故|P₂P₄|等于一个周期2π，故 ⑤不正确．

 故答案为：①②③