对于①由sinα+cosα=1知，

sinα=1 cosα=0

或

cosα=1 sinα=0

，从而有sinⁿα+cosⁿα=1；故①的结论正确；

 ②验证当x=

1

8

π时，函数y=sin (2x+

5

4

π)=sin (2×

π

8

+

5

4

π)=sin

3π

2

=- 1，所以x=

1

8

π是函数y=sin (2x+

5

4

π)的一条对称轴，②的结论正确；

 ③举反例如：设x₁=-

π

4

，x₂=

7π

4

均是第四象限的角，且x₁＜x₂，但是cosx₁=cosx₂=

2

2

所以y=cosx，x∈R在第四象限是增函数，此结论错误；

 ④函数y=sin (

3

2

π+x)=-cosx，显然这是一个偶函数，结论正确．

故答案为：①②④．