问题
填空题
| 已知函数f（x）及其导数f′（x），若存在x0，使得f（x0）=f′（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是______．（填上正确的序号） ①f（x）=x2， ②f（x）=e-x， ③f（x）=lnx， ④f（x）=tanx， ⑤f（x）=x+
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答案
①中的函数f（x）=x2，f'（x）=2x．要使f（x）=f′（x），则x2=2x，解得x=0或2，可见函数有巧值点；
对于②中的函数，要使f（x）=f′（x），则e-x=-e-x，由对任意的x，有e-x＞0，可知方程无解，原函数没有巧值点；
对于③中的函数，要使f（x）=f′（x），则lnx=
，由函数f（x）=lnx与y=1 x
的图象它们有交点，因此方程有解，原函数有巧值点；1 x
对于④中的函数，要使f（x）=f′（x），则tanx=
，即sinxcosx=1，显然无解，原函数没有巧值点；1 cos2x
对于⑤中的函数，要使f（x）=f′（x），则x+
=1-1 x
，即x3-x2+x+1=0，设函数g（x）=x3-x2+x+1，g'（x）=3x2+2x+1＞0且g（-1）＜0，g（0）＞0，1 x2
显然函数g（x）在（-1，0）上有零点，原函数有巧值点．
故答案为：①③⑤．