问题
填空题
已知函数f（x）=
（1）对∀∈R，等式f（-x）+f（x）=0恒成立； （2）函数f（x）的值域为（-1，1）； （3）若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）； （4）函数g（x）=f（x）-x在R上有三个零点． 其中正确命题的序号为______（把所有正确命题的序号都填上）． |
答案
（1）f（-x）=
=--x 1+|-x|
=-f(x)，所以（1）成立；x 1+|x|
（2）当x=0时f（x）=0，因函数为奇函数，当x＞0时，f（x）=
=x 1+x
，∵1 1+ 1 x
＞0，∴1+1 x
＞1，1 x
∴0＜
＜1，即0＜f（x）＜1；由对称性知当x＜0时，-1＜f（x）＜0，又f（0）=0，∴函数f（x）的值域为（-1，1）；1 1+ 1 x
（3）设x1＜x2＜0，则f（x1）-f（x2）=
-x1 1+|x1|
=x2 1+|x2|
=x1+x1|x2|-x2-x2|x1| (1+|x1|)(1+|x2|) x1-x2 (1+|x1|)(1+|x2|)
∵x1＜x2＜0，∴
＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在（-∞，0）为单调函数，所以函数在定义域上为单调函数，若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；x1-x2 (1+|x1|)(1+|x2|)
（4）当x＞0时，由f（x）-x=0得，
-x=0，此时方程无解，由对称性知，当x＜0时，方程也无解，又f（0）=0，∴函数g（x）=f（x）-x在R上有一个零点0，所以④不正确．x 1+x
故答案为①②③．