问题
填空题
定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1），f(x)-f(y)=f(
其中你认为正确的所有结论的序号是______． |
答案
①由对任意x，y∈（-1，1），f(x)-f(y)=f(
)恒成立．x-y 1-xy
取x=y=0，则f(0)-f(0)=f(
)=f(0)，所以f（0）=0，所以①正确；0-0 1-0
②取x=0，y=x，则f(0)-f(x)=f(
)=f(-x)，即f（-x）=-f（x），0-x 1-0•x
所以函数f（x）为（-1，1）上的奇函数，所以②正确；
③设-1＜x＜y＜1，则-2＜x＜0，xy＜1，1-xy＞0，所以
＜0，x-y 1-xy
又
+1=x-y 1-xy
=x-y+1-xy 1-xy
＞0，(1-y)(1+x) 1-xy
所以-1＜
＜0，x-y 1-xy
若f(
)＞0，则f(x)-f(y)=f(x-y 1-xy
)＞0，有f（x）＞f（y），此时函数为减函数，x-y 1-xy
所以③不正确；
④由f(an)+f(an)=f(an)-f(-an)=f(
)=f（an+1），所以f（an+1）=2f（an），2an 1+an2
又an∈（-1，0）∪（0，1），所以f（an）≠0，所以数列{f（an）}为等比数列．
所以④正确．
故答案为①②④．