A、将x=2代入，左边=3×2-1=5，右边=5，

∵左边=右边，

∴x=2是3x-1=5的解；

故本选项正确；

B、将x=2代入，左边=2×（2-2）×（2+4）=0，右边=0，

∵左边=右边，

∴x=2是x（x-2）（x+4）=0的解；

将x=4代入，左边=2×（4-2）×（4+4）=32，右边=0，

∵左边≠右边，

∴x=4不是x（x-2）（x+4）=0的解；

故本选项错误；

C、将x=4代入，左边=4²-3×4=4，右边=4，

∵左边=右边，

∴x=4是x²-3x=4的解；

将x=1代入，左边=1²-3×1=-2，右边=4，

∵左边≠右边，

∴x=1不是x²-3x=4的解；

故本选项错误；

D、将x=-5代入，左边=

5

2×(-5)

+1=

1

2

，右边=0，

∵左边≠右边，

∴x=-5不是

5

2x

+1=0的解；

将x=-7代入，左边=

5

2×(-7)

+1=

9

14

，右边=0，

∵左边≠右边，

∴x=-7不是

5

2x

+1=0的解；

故本选项错误．

故选A．