问题
填空题
| 已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）不为常函数，有以下命题： ①函数g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函数； ②若对任意x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，则f（x）是以2为周期的周期函数； ③若f（x）是奇函数，且对任意x∈R都有f（x）+f（2+x）=0，则f（x）的图象关于直线x=1对称； ④对任意x1，x2∈R且x1≠x2，若
其中正确命题的序号是______． |
答案
①∵g（-x）=f（-x）+f（x）=g（x）
∴函数g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函数，故①正确；
②若对任意x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，∴f（x）=-f（2-x），∴f（x+2）=-f（-x），f（x）不是以2为周期的周期函数，故②错误；
③∵对任意x∈R都有f（x）+f（2+x）=0，∴f（2+x）=-f（x）
∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）
∴f（2+x）=f（-x）
∴f（x）的图象关于直线x=1对称；
④设任意x1，x2∈R且x1＜x2，∴x1-x2＜0，
∵
＞0f(x1)-f(x2) x1-x2
∴f（x1）-f（x2）＜0
∴f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）为（-∞，+∞）上的增函数．