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问题 解答题
设平面内的向量
OA
=(1，7)，
OB
=(5，1)，
OM
=(2，1)，点P是直线OM上的一个动点，求当
PA
•
PB
取最小值时，
OP
的坐标及∠APB的余弦值．
答案

由题意，可设

OP
=（x，y），∵点P在直线OM上，

∴

OP
与
OM
共线，而
OM
=(2，1)，

∴x-2y=0，即x=2y，故

OP
=（2y，y），

又

PA
=
OA
-
OP
=（1-2y，7-y），
PB
=
OB
-
OP
=（5-2y，1-y），

所以

PA
•
PB
=（1-2y）（5-2y）+（7-y）（1-y）=5y2-20y+12，

当y=-

-20
2×5
=2时，
PA
•
PB
=5y2-20y+12取最小值-8，

此时

OP
=（4，2），
PA
=（-3，5），
PB
=（1，-1），

∴cos∠APB=

PA
•
PB
|
PA
||
PB
|
=
-8
34
2
=-
4
17
17

多项选择题 案例分析题

求助者：男性，25岁，未婚，饭店服务员。求助者自述：因感情问题而苦恼，伴有失眠，一月余。案例介绍：求助者在高中时曾经与班里的一位女同学关系很好，毕业后成为恋人。因离开家乡到城市打工，彼此不常见面。半年前，在老乡聚会时认识了一个长得很漂亮的女孩，开始只是作为一般的朋友相处。有一次他发烧，女孩来看他，给他做饭、洗衣服，他很感动，对女孩产生感情并开始约会。一个多月前，家乡的女朋友突然来了，提出要在这里找工作，还讨论准备结婚的事。求助者很矛盾，两个女朋友自己都喜欢，舍去谁都觉得为难，现在不知该怎么办，有时很内疚，觉得对不起她们。有时觉得自己不道德，为此苦恼、烦躁。最近半个多月，经常失眠，不想吃饭，偶尔心慌、出汗、做噩梦。虽然能每天工作，但是效率下降，觉得活着真难。有时会出现离奇的想法，比如，自己要是能分身就好了。还曾经把两个女朋友认错，担心自己会得精神病，因此来寻求帮助。心理咨询师观察、了解到的情况：求助者的相貌较好，高中毕业后，没有考上大学，来城市打工。希望心理咨询师能指导他该怎么办，选择哪个女朋友好。

针对求助者的失眠问题，心理咨询师可以（）。

A.评估严重程度

B.进行放松训练

C.对其进行教育

D.给予药物治疗
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单项选择题

小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分钟走52米，小强每分钟走70米，二人在途中的A处相遇。若小红提前4分钟出发，且速度不变，小强每分钟走90米，则两人仍在A处相遇。小红和小强两人的家相距多少米( )

A．2200
B．2340
C．2196
D．2560
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