问题
填空题
| 设[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[-2.3]=-3．给出下列命题： ①对任意实数x，都有x-1＜[x]≤x； ②对任意实数x，y，都有[x+y]≤[x]+[y]； ③[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg100]=90； ④若函数f（x）=[x•[x]]，当x∈[0，n）（n∈N*）时，令f（x）的值域为A，记集合A的元素个数为an，则
其中所有真命题的序号是______． |
答案
对于①，对任意实数x，都有x-1＜[x]≤x，满足新定义，∴①正确．
对于②，对任意实数x，y，例如x=-0.1，y=-0.1，[x+y]=-1，[x]+[y]=-2；都有[x+y]≤[x]+[y]；不正确，∴②错误．
对于③，[lg1]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+…+[lg100]
=[lg1]+…+[lg9]+[lg10]+…+[lg99]+[lg100]
=0+1×90+2=92，∴③不正确．
对于④，根据题意：[x]=0，x∈[0，1) 1，x∈[1，2) … n-1，x∈[n-1，n)
∴x[x]=0，x∈[0，1) x，x∈[1，2) … (n-1)x，x∈[n-1，n)
∴[x[x]]在各区间中的元素个数是：1，1，2，3，…，n
∴an=
+1n(n-1) 2
∴
=an+49 n
n+1 2
-50 n
，所以当n=10时，最小值为1 2
．19 2
∴④正确．
故答案为：①④．