问题
填空题
定义平面向量的一种运算：
①
②λ（
③（
④若
其中真命题是______（写出所有真命题的序号）． |
答案
①由于
⊗a
=|b
|•|a
|sin＜b
，a
＞，则b
⊗b
=|a
|•|b
|sin＜a
，b
＞=|a
|•|a
|sin＜b
，a
＞=b
⊗a
，故①正确；b
②由于
⊗a
=|b
|•|a
|sin＜b
，a
＞，b
当λ＞0时，λ（
⊗a
）=λ|b
|•|a
|sin＜b
，a
＞，b
（λ
）⊗a
=|λb
|•|a
|sin＜λb
，a
＞=λ|b
|•|a
|sin＜λb
，a
＞=λ|b
|•|a
|sin＜b
，a
＞，故λ（b
⊗a
）=（λb
）⊗a b
当λ=0时，λ（
⊗a
）=0=（λb
）⊗a
，故λ（b
⊗a
）=（λb
）⊗a b
当λ＜0时，λ（
⊗a
）=λ|b
|•|a
|sin＜b
，a
＞b
（λ
）⊗a
=|λb
|•|a
|sin＜λb
，a
＞=-λ|b
|•|a
|sin＜λb
，a
＞=-λ|b
|•|a
|×（-sin＜b
，a
＞）=λ|b
|•|a
|sin＜b
，a
＞，故λ（b
⊗a
）=（λb
）⊗a b
故②正确；
③类比数量积的类似性质可证，③正确；
④令
=（x1，y1），a
=（x2，y2），则|b
|=a
，|x12+y12
|=b
，x22+y22
则cos＜
，a
＞=b
，x1x2+y1y2
•x12+y12 x22+y22
即有sin＜
，a
＞=b |x1y2-x2y1|
•x12+y12 x22+y22
⊗a
=b
×x12+y12
×x22+y22
=|x1y2-x2y1|，故④正确|x1y2-x2y1|
•x12+y12 x22+y22
故答案为：①②③④．