设直线L1：y=k1x+p，p≠0交椭圆Γ：
（1）若E为CD的中点，求证：k1•k2=-
（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真； （3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）． |
（1）证明：设C（x1，y1）D（x2，y2）E（x0，y0），则
+x12 a2
=1 (1)，y12 b2
+x22 a2
=1 (2)y22 b2
两式相减得
+(x1-x2)(x1+x2) a2
=0(y1-y2)(y1+y2) b2
即
+2x0(x1-x2) a2
=0…（3分）2y0(y1-y2) b2
∴k1=
=y1-y2 x1-x2
=--b2•x0 a2•y0 b2 a2•k2
∴k1•k2=-
…（7分）b2 a2
（2）逆命题：设直线L1：y=k1x+p交椭圆Γ：
+x2 a2
=1 (a＞b＞0)于C、D两点，交直线L2：y=k2x于点E．若k1•k2=-y2 b2
，则E为CD的中点．…（9分）b2 a2
证法一：由方程组
⇒(b2+a2y=k1x+p
+x2 a2
=1y2 b2
)x2+2k1pa2x+a2p2-a2b2=0…（10分）k 21
因为直线L1：y=k1x+p交椭圆C、D于C、D两点，
所以△＞0，即a2
+b2-p2＞0，设C（x1，y1）、D（x2，y2）、E（x0，y0）k 21
则∴x0=
=x1+x2 2
，y0=-k1pa2 b2+a2 k 21
=y1+y2 2
…（12分）pb2 b2+a2 k 21
⇒y=k1x+p y=k2x x= p k2-k1 y=k2x
又因为k1•k2=-
，所以b2 a2
，故E为CD的中点．…（14分）x=
=p k2-k1
=x0-a2k1p b2+a2 k 21 y=k2x=
=y0b2p b2+a2 k 21
证法二：设C（x1，y1）D（x2，y2）E（x0，y0）
则
+x12 a2
=1 (1)，y12 b2
+x22 a2
=1 (2)y22 b2
两式相减得
+(x1-x2)(x1+x2) a2
=0(y1-y2)(y1+y2) b2
即k1=
=y1-y2 x1-x2
…（9分）-b2•(x1+x2) a2•(y1+y2)
又∵k1•k2=-
，k2=b2 a2
，y0 x0
=y1+y2 x1+x2
即x0 y0
=k1x1+p+k2x2+p x1+x2
…（12分）∴k1+kx0+p x0
=k1+2p x1+x2 p x0
得x1+x2=2x0∴y1+y2=2y0，即E为CD的中点．…（14分）
（3）设直线L1：y=k1x+p，p≠0交双曲线Γ：
-x2 a2
=1 (a＞0 ，b＞0)于C、D两点，交直线L2：y=k2x于点E．y2 b2
则E为CD中点的充要条件是k1•k2=
．…（16分）b2 a2