问题 解答题

已知关于x的方程x2﹣(3k+1)x+2k2+2k=0

(1)求证:无论k取何实数值,方程总有实数根

(2)若等腰△ABC的一边长为a=6,另两边长b,c恰好是这个方程的两个根,求此三角形的周长.

答案

(1)证明:

△=[﹣(3k+1)]2﹣4×1×(2k2+2k),

=k2﹣2k+1,

=(k﹣1)2

∴无论k取什么实数值,(k﹣1)2≥0,

∴△≥0,

所以无论k取什么实数值,方程总有实数根;

(2)x2﹣(3k+1)x+2k2+2k=0,

因式分解得:(x﹣2k)(x﹣k﹣1)=0,

解得:x1=2k,x2=k+1,

∴b,c恰好是这个方程的两个实数根,

设b=2k,c=k+1,当a、b为腰,

则a=b=6,

而a+b>c,a﹣b<c,

所以三角形的周长为:6+6+4=16;

当b、c为腰,

则k+1=6,

解得k=5,

∵b+c<a,

所以这种情况不成立,

∴三角形的周长为:6+6+10=22.

综上,三角形的周长为16或22.

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