问题
解答题
已知关于x的方程x2﹣(3k+1)x+2k2+2k=0
(1)求证:无论k取何实数值,方程总有实数根
(2)若等腰△ABC的一边长为a=6,另两边长b,c恰好是这个方程的两个根,求此三角形的周长.
答案
(1)证明:
△=[﹣(3k+1)]2﹣4×1×(2k2+2k),
=k2﹣2k+1,
=(k﹣1)2,
∴无论k取什么实数值,(k﹣1)2≥0,
∴△≥0,
所以无论k取什么实数值,方程总有实数根;
(2)x2﹣(3k+1)x+2k2+2k=0,
因式分解得:(x﹣2k)(x﹣k﹣1)=0,
解得:x1=2k,x2=k+1,
∴b,c恰好是这个方程的两个实数根,
设b=2k,c=k+1,当a、b为腰,
则a=b=6,
而a+b>c,a﹣b<c,
所以三角形的周长为:6+6+4=16;
当b、c为腰,
则k+1=6,
解得k=5,
∵b+c<a,
所以这种情况不成立,
∴三角形的周长为:6+6+10=22.
综上,三角形的周长为16或22.