问题
填空题
| 设f（x）为定义在区间I上的函数．若对I上任意两点x1，x2（x1≠x2）和实数λ∈（0，1），总有f（λx1+（1-λ）x2）＜λf（x1）+（1-λ）f（x2），则称f（x）为I上的严格下凸函数．若f（x）为I上的严格下凸函数，其充要条件为：对任意x∈I有f∥（x）＞0成立（f∥（x）是函数f（x）导函数的导函数），则以下结论正确的有______． ①f（x）=
②设x1，x2∈（0，
③若f（x）是区间I上的严格下凸函数，对任意x0∈I，则都有f（x）＞f′（x0）（x-x0）+f（x0） ④f（x）=
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答案
①因为f（x）=
=2x+2014 3x+7
=
(3x+7)+2014-2 3 14 3 3x+7
+2 3
，所以f'（x）=-6028 9x+21
=-6028×9 (9x+21)2
，6028 (3x+7)2
所以f∥（x）=
，当x∈[0，2014]时，f∥（x）＞0恒成立，所以①正确．2×3×6028 (3x+7)3
②若x1=
，x2=π 3
，则π 6
(tanx1+tanx2)=1 2
(tan1 2
+tanπ 3
)=π 6
(1 2
+3 3
)=3
，而2 3 3
(tan1 2
=tanx1+x2 2
)=tan
+π 3 π 6 2
=1，π 4
所以有tan(
)＞x1+x2 2
(tanx1+tanx2)不成立，所以②错误．1 2
③因为f（x）=x2为严格下凸函数，则f'（x）=2x，f∥（x）=2＞0恒成立，当x0=1时，f′（1）=2，f（1）=1，
此时不等式等价为，f（x）＞2（x-1）+1=2x-1，当x=0时，f（0）=0＞-1不成立，所以③错误．
④若f（x）=
x3+sinx，则f'（x）=1 6
x2+cosx，f∥（x）=x-sinx，当x∈[1 2
，π 6
]，设y=x-sinx，则y'=1-cosx≥0，所以函数f∥（x）=x-sinx单调递增，π 3
所以f∥（
）=π 6
-sinπ 6
=π 6
-π 6
＞0），所以f（x）=1 2
x3+sinx，（x∈（1 6
，π 6
））是严格下凸函数，所以④正确．π 3
故答案为：①④．
