问题
填空题
| 设函数f（x）=lnx，有以下4个命题： ①对任意的x1、x2∈（0，+∞），有f(
②对任意的x1、x2∈（1，+∞），有f（x1）-f（x2）＜x2-x1； ③对任意的x1、x2∈（e，+∞），有x1f（x2）＜x2f（x1）； ④对任意的0＜x1＜x2，总有x0∈（x1，x2），使得f(x0)≤
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答案
∵f（x）=lnx是（0，+∞）上的增函数，
∴对于①由f(
)=lnx1+x2 2
，x1+x2 2
=lnf(x1)+f(x2) 2
，∵x1x2
＞x1+x2 2 x1x2
故f(
)＞x1+x2 2
故①错误．f(x1)+f(x2) 2
对于②③，不妨设x1＜x2则有f（x1）＜f（x2），
故由增函数的定义得f（x1）-f（x2）＜x2-x1 故②正确，
由不等式的性质得x1f（x1）＜x2f（x2），故③错误；
对于④令1=x1＜x2=e2，x0=e得，f（x0）＞
，故④错误．f(x1)-f(x2) x1-x2
故答案为②．