问题 填空题
有如下列命题:
x2+2
x2+1
的最小值为2;
②lgx+logx10的最小值是2;
sin2x+
4
sin2x
的最小值是4;
④若x>0,y>0且
2
x
+
8
y
=1
,则xy的最小值是64;
⑤若a>0,b>0,a+b=1,则(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2
的最小值是8;
写出所有正确命题的序号______.
答案

x2+2
x2+1
=
x2+1+1
x2+1
=
x2+1
+
1
x2+1
≥2
,当且仅当
x2+1
=
1
x2+1
,即x2+1=1,所以x=0时取等号,所以①正确.

②当0<x<1时,lgx>0,所以②错误.

sin2x+

4
sin2x
≥2
sin2x⋅
4
sin2x
=2
4
=4
,当且仅当sin2x=
4
sin2x
,即sin2x=2取等号,显然不成立,所以③错误.

④由

2
x
+
8
y
=1,得1=
2
x
+
8
y
≥2
2
x
8
y
=2
16
xy
,解得xy≥64,所以xy的最小值是64,所以④正确.

⑤因为(a+

1
a
)2+(b+
1
b
)2=(2
a⋅
1
a
)
2
+(2
b⋅
1
b
)
2
=4+4=8
,当且仅当a=
1
a
且b=
1
b
,即a=1,b=1时取等号,但a+b=2与a+b=1矛盾,所以⑤不正确.

故答案为:①④.

单项选择题 B型题
单项选择题