问题
选择题
| 下列命题中真命题的个数是（ ） ①若A，B，C，D是空间任意四点，则有
②在四面体ABCD中，若
③在四面体ABCD中点，且满足
④对空间任意点O与不共线的三点A，B，C，若
|
答案
①根据向量的加法法则可知
+AB
+BC
+CD
=DA
，∴①正确；0
②令
=AB
，a
=AD
，b
=AC
，c
∵
•AB
=0，CD
•AC
=0，BD
∴
⋅(AB
-AD
)=AC
⋅(a
-b
)=0，解得c
•a
=b
•a
①c
⋅(AC
-AD
)=AB
⋅(c
-b
)=0，解得a
⋅c
=b
⋅a
②，c
∴
⋅c
=b
⋅a
，即b
⋅c
-b
⋅a
=b
⋅(b
-c
)=0，a
即
⋅(AD
-AC
)=AB
⋅AD
=0，∴②正确．BC
③∵
=BC
-AC
，AB
=BD
-AD
，AB
•AB
=0，AC
•AC
=0，AD
•AB
=0．AD
∴
⋅BC
=(BD
-AC
)⋅(AB
-AD
)=AB
2＞0，AB
∴∠CBD为锐角，同理
•CD
＞0，CB
•DB
＞0，DC
即△BDC是锐角三角形，∴③正确．
④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若
=x0P
+yOA
+zOB
（其中x、y、z∈R），只有当x+y+z=1时，P、A、B、C四点才共面，∴④正确．OC
故正确是个数有4个，
故选：D．