问题
填空题
已知函数f(x)=
①f（x）是奇函数 ②对定义域内任意x，f（x）＜1恒成立； ③当x=
④f（2）＞f（3） ⑤当x＞0时，若方程|f（x）|=k有且仅有两个不同的实数解α，β（α＞β）则β•cosα=-α•sinβ |
答案
①函数的定义域是{x|x≠0，x∈R}，f（-x）=
=sin(-x) -x
=f（x），∴f（x）是偶函数，故①错误；sinx x
②∵根据三角函数线的定义知|sinx|≤|x|，∴
≤1，∵x≠0，∴|sinx| |x|
＜1成立，故②正确；sinx x
③∵f′（x）=
，∵f′（xcosx-sinx x2
）=3π 2
≠0，∴x=4 9π2
不是极值点，∴③错误；3π 2
④∵
＜2＜3＜π，∴sin2＞sin3＞0，∴π 2
＞sin2 2
，∴④正确；sin3 3
⑤
因为|
|=k（x＞0）有且仅有两个不同的根α，β，所以，k＞0sinx x
因为x＞0时，y=sinx为周期函数，y=x为增函数
所以，f（x）在（0，π）的最大值＞f（x）在（π，2π）的最大值＞f（x）在（2π，3π）的最大值＞…
因为，α＞β
所以，α必为y=f（x）在（π，2π）取最大值时x的值，
π＜x＜2π时，f（x）=|
|=-sinx x sinx x
f'（x）=
，令f'（x）=0，-xcosx+sinx x2
则αcosα-sinα=0，即cosα=
，sinα α
所以，f（α）=-
=-cosα=ksinα α
α，β为方程f（x）=k在（0，π）的根
所以，
=ksinβ β
所以，
=-cosαsinβ β
即：βcosα=-sinβ，故⑤错误
故答案为：②④
