设f（x）是定于在（0，1）上的函数，且满足：①对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②对任意x1，x2∈（0，1），恒有
（1）对任意x∈（0，1），都有f（x）＞f（1-x）； （2）对任意x∈（0，1），都有f（x）=f（1-x）； （3）对任意x∈（0，1），恒有f′（x）=0； （4）当x∈（0，1），函数y=
上述四个命题中正确的有______． |
因为对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0，
所以令x1=x，x2=1-x，则
+f(x) f(1-x)
≥2f(1-x) f(x)
=2，
⋅f(x) f(1-x) f(1-x) f(x)
由②知
+f(x) f(1-x)
≤2，所以必有f(1-x) f(x)
+f(x) f(1-x)
=2，当且仅当f(1-x) f(x)
=f(x) f(1-x)
=1，即f（x）=f（1-x）时取等号，所以（1）错误，（2）正确．f(1-x) f(x)
（3）将②中的变量x1，x2，交换位置得
+f(x2) f(x1)
≤2，③，将②③相加得f(1-x2) f(1-x1)
+f(x2) f(x1)
+f(1-x2) f(1-x1)
+f(x1) f(x2)
≤4，f(1-x1) f(1-x2)
因为
+f(x2) f(x1)
≥2f(x1) f(x2)
=2，
⋅f(x2) f(x1) f(x1) f(x2)
+f(1-x2) f(1-x1)
≥2f(1-x1) f(1-x2)
=2，
⋅f(1-x2) f(1-x1) f(1-x1) f(1-x2)
所以
+f(x2) f(x1)
+f(x1) f(x2)
+f(1-x2) f(1-x1)
≥4，所以f(1-x1) f(1-x2)
+f(x2) f(x1)
+f(x1) f(x2)
+f(1-x2) f(1-x1)
=4，f(1-x1) f(1-x2)
当且仅当，
=f(x2) f(x1)
=1，f(x1) f(x2)
=f(1-x2) f(1-x1)
=1，取等号，所以f（x1）=f（x2），即对任意的变量x1，x2，都有所以f（x1）=f（x2），f(1-x1) f(1-x2)
所以f（x）为常数，所以f'（x）=0，所以（3）成立．
（4）因为f（x）为常数，所以设f（x）=c＞0，
所以y=
+x=f(x) x
+x，函数的导数为y'=1-c x
，当x＞0时，由y'＜0得，0＜x＜c x2
，所以函数在（0，c
）上单调递减，所以当c＜1时，函数y=c
+x为减函数不一定正确．f(x) x
故正确的是（2）（3）．