问题
选择题
| 给出以下命题： （1）∃x∈R，使得sinx+cosx＞1； （2）函数f(x)=
（3）“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件； （4）在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的必要不充分条件． 其中是真命题的个数是（ ）
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答案
当x=
时，sinx+cosx=π 4
＞1，故（1）∃x∈R，使得sinx+cosx＞1正确；2
∵f(x)=
，∴f′(x)=sinx x
=x•cosx-sinx x2
，x-tanx cosx•x2
当x∈(0，
)时，∵cosx＞0，x-tanx＜0，x2＞0，π 2
∴f'（x）＜0，故f（x）在区间(0，
)上单调递减，故（2）正确．π 2
当“x＞1”时是“|x|＞1”成立，但“|x|＞1”时，“x＞1或x＜-1”，故“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；
在△ABC中，“A＞B”⇔“a＞b”⇔“sinA•2R＞sinB•2R”（其中R为三角形外接圆半径）⇔“sinA＞sinB”，故A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件，故（4）错误
故选C