问题
问答题
设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导．
1.若f(a)=0，f(b)＜0，f’+(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)f"(ξ)+f’2(ξ)=0．
答案
参考答案：令
，因为F(a)=F(b)=0，所以由罗尔定理，存在c∈(a，b)，使得F’(c)=0，即f(c)=0．
令h(x)=exf(x)，由h(a)=h(c)=h(b)=0，根据罗尔定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0，则h’(x)=ex[f(x)+f’(x)]，所以f(ξ1)+f’(ξ1)=0，f(ξ2)+f’(ξ2)=0．
再令G(x)=e-x[f(x)+f’(x)]，由G(ξ1)=G(ξ2)=0，根据罗尔定理，存在η∈(ξ1，ξ2)
(a，b)，使得G’(η)=0，而G’(x)=e-x[f"(x)-f(x)]且e-x≠0，所以f"(η)=f(η)．