（1）∵f（x）=log_m

1+x

x-1

，

∴

1+x

x-1

＞0，

解得-1＜x＜1；

∴函数f（x）的定义域是（-1，1）；

又f（-x）=log_m

1-x

-x-1

=log_m

x-1

x+1

=log_m(

1+x

x-1

)-1

=-log_m

1+x

x-1

=-f（x），

∴f（x）是定义域上的奇函数；

（2）当0＜m＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数；

证明如下：设任意的1＜x₁＜x₂，

∵f（x）=log_m

1+x

x-1

=log_m

x-1+2

x-1

=log_m（1+

2

x-1

），

∴0＜x₁-1＜x₂-1，

∴

1

x1-1

＞

1

x2-1

＞0，

∴1+

2

x1-1

＞1+

2

x2-1

＞1；

又∵0＜m＜1，

∴log_m（1+

2

x1-1

）＜log_m（1+

2

x2-1

），

即f（x₁）＜f（x₂）；

∴f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．